An’s Physics Lecture 시뮬레이터

WAVES & VIBRATIONS

줄 파동

한 점의 진동이, 줄 전체의 파동이 되기까지.

시작 대기

금빛 관측점을 움직여 줄의 한 점을 살펴보세요.

t0.00 s
파동의 속력(v = √(T/μ))
4.00m/s
파장
4.00m
진폭
0.0cm
관측점 1의 변위
0.0cm
관측점 2의 변위
0.0cm
관찰 도구
m
m
변위 / 최근 6 s

모델 · 조작법

어떤 줄을 보고 있는가

길이 L=12\,\mathrm{m}인 균일한 줄의 횡파이다. 장력 T와 선밀도 \mu(단위 길이의 질량)는 ‘줄의 성질’에서 조절한다. 작은 기울기를 가정한 선형 파동 방정식으로 계산하며, 장력은 줄 전체에서 일정하고 감쇠는 속도에 비례한다(\gamma는 감쇠 계수이다).

\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+\gamma\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{T}{\mu}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}

가로 거리(m)와 세로 변위(cm)의 화면 축척은 다르다. 세로 범위는 필요할 때만 확대되고 줄 비우기로 복원된다. 무감쇠 열린 끝에서는 파형이 모양을 유지하며 빠져나가고, 감쇠가 있는 열린 끝은 흡수 경계의 근사이다. 파장은 \lambda=\frac{v}{f}로 계산한 값이며, 감쇠가 작으면(\gamma\ll2\pi f) 화면의 파장과 같다. 입자 보기는 0.2\,\mathrm{m} 간격 61개 물질점의 변위를 같은 계산에서 그린 것이고, 10번째 입자마다 색을 달리했다.

파동 만들기와 시간

직접은 왼쪽 손잡이를 끌어 줄을 흔든다. 진동은 진동원이 진폭과 진동수를 정해 계속 흔들며, 진동 시작을 눌러야 시작한다. 펄스는 삼각형 펄스 하나를 보낸다. 고유진동은 왼쪽 끝을 고정하고 줄을 n번째 고유진동 모양으로 잡았다가 줄 놓기를 누르면 진동원 없이 진동시킨다(오른쪽 끝은 고정단이나 자유단이어야 한다).

시간은 처음과 줄 비우기 뒤에 멈춰 있고, 파동을 만들면(손잡이 끌기, 펄스 보내기, 진동 시작, 줄 놓기) 흐르기 시작한다. 재생 버튼으로 직접 멈추거나 진행할 수도 있다. 장력·선밀도를 바꾸면 줄과 시간이 초기화된다.

관찰과 측정

관측점 1(금색)과 관측점 2(보라색)는 줄을 따라 이동하는 물체가 아니라, 선택한 위치에서 위아래로 진동하는 줄의 한 점이다. 아래 그래프는 두 점의 최근 6초 변위를 함께 보여 준다. 진폭은 최근 한 주기(진동·고유진동) 또는 최근 1초 동안 줄 전체에서 가장 큰 변위이다. 기준선은 화면에서 끌거나 높이 입력으로 옮긴다. 스톱워치는 배속과 일시정지를 따르는 시뮬레이션 시간을 잰다.

키보드

Space 재생 / 일시정지 · → 정지 중 한 단계
R 줄 비우기 · F 집중 모드 · Esc 창 / 집중 모드 닫기

공부하기

이 시뮬레이션으로 확인할 수 있는 내용을 주제별로 정리했다. 각 주제의 해 보기를 따라 하면 화면에서 직접 확인할 수 있다.

1. 파동의 속력은 매질이 정한다

줄을 따라 파동이 퍼지는 속력 v는 장력 T와 선밀도 \mu로만 정해진다. 진폭이나 진동수를 바꿔도 속력은 변하지 않는다. 장력을 4배로 하면 속력은 2배가 되고, 선밀도를 4배로 하면 속력은 절반이 된다.

v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}

해 보기 펄스 모드에서 고정단을 고르고 스톱워치를 켠다. 펄스를 보낸 뒤 반사되어 진동원으로 돌아올 때까지의 시간 t를 재고, v=\frac{2L}{t}(L=12\,\mathrm{m})를 화면의 속력과 비교한다. 장력을 1.6\,\mathrm{N}에서 6.4\,\mathrm{N}으로 바꾸면 왕복 시간이 6\,\mathrm{s}에서 3\,\mathrm{s}로 줄어든다.

2. 속력·진동수·파장의 관계

진동원이 한 번 진동하는 동안, 즉 주기 \frac{1}{f} 동안 파동은 한 파장 \lambda만큼 나아간다. 따라서 세 양 사이에 아래 관계가 성립한다. 속력은 매질이 정하므로 진동수를 2배로 하면 파장은 절반이 된다.

v=f\lambda

해 보기 진동 모드, 열린 끝, 감쇠 0에서 진동수를 1\,\mathrm{Hz}와 2\,\mathrm{Hz}로 바꾸며 이웃한 마루 사이 거리를 격자로 읽는다(4\,\mathrm{m}, 2\,\mathrm{m}). 두 관측점을 한 파장 떨어뜨리면 두 그래프가 겹치고, 반 파장 떨어뜨리면 정반대로 움직인다.

3. 매질은 제자리에서 진동한다

파동이 지나가도 줄의 각 부분은 옆으로 이동하지 않고 제자리에서 위아래로만 진동한다. 옮겨지는 것은 매질이 아니라 진동의 모양과 에너지이다. 진동 방향이 진행 방향에 수직이므로 줄의 파동은 횡파이다.

화면의 줄 모양은 한 순간의 변위 y(x)이고, 관측점 그래프는 한 점의 시간에 따른 변위 y(t)이다. 모양은 비슷하지만 가로축이 위치와 시간으로 다르다.

해 보기 입자 보기에서 빨간 입자 하나를 눈으로 따라간다. 펄스가 지나가는 동안 그 입자는 위로 올라갔다 제자리로 돌아올 뿐 오른쪽으로 가지 않는다.

4. 끝에서의 반사

고정단에서는 끝이 움직일 수 없으므로 반사파의 변위가 뒤집힌다(위상이 \pi만큼 바뀐다). 자유단에서는 끝이 자유롭게 움직이므로 반사파가 뒤집히지 않고 돌아온다. 열린 끝은 줄이 끝없이 이어진 것처럼 파동이 반사 없이 빠져나가게 만든 경계이다.

해 보기 펄스 모드에서 고정단과 자유단을 번갈아 고르고 같은 펄스를 보낸다. 돌아온 펄스가 아래로 뒤집히는지, 위로 그대로 오는지 비교한다. 자유단의 고리는 반사 순간 펄스 높이의 약 2배까지 올라간다. 입사파와 반사파가 겹치기 때문이다.

5. 중첩과 정상파

진폭과 진동수가 같고 서로 반대 방향으로 진행하는 두 파동이 겹치면 정상파가 된다.

y=A\sin(kx-\omega t)+A\sin(kx+\omega t)=2A\sin kx\,\cos\omega t

위치마다 진폭 2A\lvert\sin kx\rvert가 정해져 있고, 파형은 옆으로 이동하지 않는다. 진폭이 0인 곳이 마디, 가장 큰 곳이 배이다. 이웃한 마디 사이의 거리는 \frac{\lambda}{2}이고, 마디와 이웃한 배 사이의 거리는 \frac{\lambda}{4}이다.

해 보기 진동 모드에서 고정단을 고르고 정상파 초기 조건을 누른다. 관측점 1(배)과 관측점 2(마디)의 그래프를 비교하고, 격자로 마디 간격이 \frac{\lambda}{2}=2\,\mathrm{m}인지 확인한다.

6. 고유진동: 에너지 공급 없이 유지되는 정상파

양 끝이 정해진 줄에는 끝 조건을 만족하는 정상파만 존재할 수 있다. 양 끝이 고정되면 줄 길이가 반파장의 정수배여야 하고, 한쪽 끝이 자유단이면 \frac{1}{4}파장의 홀수배여야 한다 (n=1,2,3,\dots).

양 끝 고정\lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad f_n=\frac{nv}{2L}
고정단–자유단\lambda_n=\frac{4L}{2n-1},\qquad f_n=\frac{(2n-1)v}{4L}

감쇠가 0이면 줄의 에너지는 보존된다. 고유진동 모양으로 잡았다가 놓은 줄은 에너지를 공급받지 않아도 운동에너지와 퍼텐셜에너지를 주고받으며 계속 진동한다. 줄이 평평해지는 순간에는 에너지가 모두 운동에너지이고, 가장 크게 휜 순간에는 모두 퍼텐셜에너지이다. 기타 줄을 튕기면 나는 소리가 이 진동이다. 감쇠 \gamma가 있으면 진폭이 e^{-\gamma t/2}에 비례해 줄어든다.

해 보기 고유진동 모드에서 고정단을 고르고 n을 1, 2, 3으로 바꾸며 마디의 수를 센다(양 끝을 포함해 n+1개). 감쇠 0에서 줄을 놓은 뒤 진폭 칸이 그대로인지 확인하고, 감쇠를 주어 진폭이 줄어드는 것과 비교한다.

7. 공진과 감쇠: 정지한 줄에서 정상파가 생기는 과정

진동원의 진동수가 줄의 고유진동수 f_n과 같으면 진동원이 매 주기 줄에 알짜 일을 하여 진폭이 커진다. 이것이 공진이다. 감쇠가 0이면 진폭이 끝없이 커지고, 감쇠가 있으면 공급과 손실이 같아지는 크기에서 멈춘다. 공진이 아닌 진동수에서는 진동원이 한 주기 동안 준 에너지를 그대로 돌려받아 평균 일이 0이다.

감쇠가 있으면 정지한 줄에서 출발해도 정상파가 저절로 생긴다. 진동을 시작할 때 생긴 과도파가 감쇠로 사라지고, 진동원과 같은 진동수의 주기 운동만 남기 때문이다. 감쇠가 0이면 과도파가 사라지지 않으므로 정지한 줄에서 출발해서는 순수한 정상파에 도달하지 않는다.

감쇠 \gamma\ (\mathrm{s^{-1}})배의 진폭 ÷ 진동원 진폭정상파가 되기까지
0끝없이 커짐(공진)수렴하지 않음
0.0513.4약 120\,\mathrm{s}
0.16.7약 60\,\mathrm{s}
0.32.3약 20\,\mathrm{s}
0.61.3약 11\,\mathrm{s}
 고정단, v=4\,\mathrm{m/s}, 공진 진동수 f=1\,\mathrm{Hz}에서 정지한 줄로 시작해 정상상태와의 차이가 5\% 이내가 될 때까지의 시간이다. 이 시뮬레이터로 계산한 값이다.
정상상태까지 걸리는 시간\tau\approx\frac{6}{\gamma}
마디의 진폭 ÷ 배의 진폭\approx\frac{\gamma d}{2v}

걸리는 시간은 약 \frac{6}{\gamma}로, 과도파가 감쇠로 사라지는 시간이다. 공진에서 벗어난 진동수에서도 거의 같다. 정상파가 또렷하려면 공진 진동수에 맞추고 감쇠를 작게 해야 한다. 그러면 배는 커지고 마디는 0에 가까워지지만 기다리는 시간이 길어진다. 장력과 선밀도는 속력 v를 바꿔 공진 진동수를 옮길 뿐, 정상파가 되는 시간은 거의 바꾸지 못한다.

감쇠가 있으면 마디도 완전히 멈추지 않는다. 진동원에서 나간 파동이 반사되어 돌아오는 동안 약해져, 서로 반대로 가는 두 파동의 세기가 같지 않기 때문이다. 반사 끝에서 마디까지의 거리를 d라 하면 마디의 진폭은 배의 약 \frac{\gamma d}{2v}배이다. 진동원에 가까운 마디일수록 얕다.

해 보기 진동 모드에서 고정단, 감쇠 0, 진동수 1\,\mathrm{Hz}로 진동을 시작하면 진폭이 계속 커진다. 0.9\,\mathrm{Hz}에서는 커지지 않는다. 정상파 초기 조건 버튼은 가장 가까운 공진 진동수, \gamma=0.2\,\mathrm{s^{-1}}, 진폭 5\,\mathrm{cm}, 속도 2\times로 맞추고 줄을 정지 상태로 되돌린다. 진동을 시작하면 약 30\,\mathrm{s}(화면 시간 약 15\,\mathrm{s}) 뒤 배의 진폭이 진동원 진폭의 약 3.4배(약 17\,\mathrm{cm})인 정상파가 자리잡는다. 관측점 2는 반사 끝 가까이의 가장 깊은 마디에, 관측점 1은 그 옆의 배에 놓인다.