HEAT & GASES

기체 운동 법칙

한 양을 일정하게 두고, 나머지 두 양이 어떻게 함께 변하는지 찾는다.

진행 중

입자이론 곡선격자

속도×

압력P: 1.23atm

부피V: 2.00L

온도T: 300K27 °C

일정한 값PV: 2.46atm·L

보일·샤를PV/T: 0.00821atm·L/K

측정 기록

모델 · 조작법

무엇을 보고 있는가

단면적이 일정한 실린더에 이상 기체 n=0.100\,\mathrm{mol}이 들어 있다. 기체의 상태는 압력 P, 부피 V, 절대 온도 T로 나타내고, 세 양은 언제나 이상 기체 상태 방정식을 만족한다.

PV=nRT,\qquad R=0.0821\,\mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)}

세 실험은 각각 한 양을 일정하게 두고(통제 변인), 한 양을 바꾸며(조작 변인), 나머지 한 양이 어떻게 변하는지(종속 변인) 본다. 변화는 아주 천천히 일어나 기체가 언제나 평형 상태에 있다고 가정한다. 그래서 값을 바꾸면 곧바로 새 평형 상태의 값이 표시된다.

실험	일정한 양	바꾸는 양	따라 변하는 양	일정하게 두는 방법
보일 법칙	T	V	P	실린더를 큰 항온조에 담근다.
샤를 법칙	P	T	V	자유롭게 움직이는 피스톤 위에 추를 얹는다.
게이뤼삭 법칙	V	T	P	핀으로 피스톤을 고정한다.

샤를 법칙 실험에서 기체의 압력은 바깥 대기압 1\,\mathrm{atm}에 추의 무게를 피스톤 넓이로 나눈 값을 더한 것이다(피스톤의 질량과 마찰은 무시한다). 그래서 P=1\,\mathrm{atm}이면 추가 없다. 피스톤은 자유롭게 움직이므로, 바깥(대기와 추)이 누르는 힘과 기체가 미는 힘이 같아지는 곳에서 멈춘다. 그래서 기체의 압력은 언제나 아래 식으로 정해지고, 온도를 바꿔도 대기압 P_0, 추의 질량 m, 피스톤 넓이 A가 그대로이니 압력도 그대로이다. 온도가 오르면 피스톤이 올라가 부피가 늘어날 뿐이다.

P=P_0+\frac{mg}{A}

그림에서는 피스톤 위아래의 같은 길이의 붉은 화살표가 이 힘의 평형을 나타내고, 실린더 위에 같은 식을 적었다. 압력계의 청록색 표시는 정해 둔 압력이며, 온도를 바꿔도 바늘이 그 표시에서 벗어나지 않는다.

화면 읽기

왼쪽은 장치이다. 실린더 왼쪽 눈금은 부피(L), 오른쪽 압력계는 압력(atm), 왼쪽 온도계는 온도(K)를 가리킨다. 보일 법칙에서는 항온조, 다른 두 실험에서는 실린더 아래 온도 조절판이 보인다. 온도 조절판은 300\,\mathrm{K}보다 높으면 붉게(가열), 낮으면 푸르게(냉각) 칠해진다.

오른쪽은 그래프이다. 청록색 곡선은 지금의 통제 변인 값에서 상태 방정식이 주는 이론 곡선이고, 곡선 끝에 그 값을 적는다. 조작 변인이 실험 범위 안이면 실선, 범위 밖으로 연장한 부분은 점선이다. 앰버색 점은 현재 상태, 번호가 붙은 보라색 점은 기록한 상태이다. 다른 통제 변인 값에서 남긴 기록이 있으면 그 값의 곡선을 흐리게 함께 그려 비교할 수 있다. 위쪽의 그래프 전환은 보일 법칙에서 P\text{–}V와 P\text{–}\frac{1}{V}, 다른 두 실험에서 절대 온도 T(K)와 섭씨 온도 t(°C)를 바꾼다.

입자

실린더 속 입자 40개는 기체 분자의 실제 개수가 아니라 분자 운동의 모습을 보여 주는 표본이다. 입자의 속도는 2차원 맥스웰 분포를 따르고, 평균 제곱 속력이 절대 온도에 비례하도록 맞춘다. 온도를 바꾸면 모든 입자의 속도가 \sqrt{\frac{T_\mathrm{new}}{T_\mathrm{old}}}배가 되고, 부피를 바꾸면 입자의 높이가 같은 비율로 늘거나 줄어든다. 입자끼리는 충돌하지 않고(이상 기체) 벽·피스톤과 탄성 충돌한다. 실제 분자는 초속 수백 m로 움직이지만 화면에서는 매우 느리게 그렸다. 계측 칸의 압력은 입자의 충돌을 세어 얻은 값이 아니라 상태 방정식으로 계산한 값이다.

조작

‘실험 고르기’로 세 실험 중 하나를 고르면 그 실험의 기본값에서 시작하고 기록이 지워진다. 통제 변인과 조작 변인은 슬라이더나 값 입력칸으로 바꾼다. 조작 변인은 그래프의 현재 상태 점을 좌우로 끌어도 바뀌고, 보일 법칙에서는 피스톤 손잡이를 위아래로 끌어 부피를, 샤를·게이뤼삭 법칙에서는 온도계의 빨간 기둥(끝의 손잡이)을 위아래로 끌어 온도를 바꿀 수 있다. 온도계를 누르면 그 눈금으로 바로 옮겨 간다. 종속 변인은 직접 바꿀 수 없다.

‘현재 상태 기록’은 지금의 T, V, P를 표에 한 열로, 그래프에 번호 점으로 남긴다. ‘5번 자동 측정’은 조작 변인을 범위의 양 끝과 그 사이 세 값으로 바꾸며 다섯 번 기록한 뒤 원래 값으로 돌아간다. 기록은 12개까지 남는다. 재생 막대의 기록 지우기는 기록만, 전체 초기화는 모든 값과 도구를 처음으로 되돌린다. 재생·일시정지와 속도는 입자의 움직임에만 영향을 준다.

모형의 범위

실제 기체는 온도가 낮거나 압력이 높으면 분자 사이의 힘과 분자의 크기 때문에 이상 기체에서 벗어나고, 결국 액체가 된다. 그래서 온도는 200\text{–}500\,\mathrm{K}로 제한했고, 그래프의 점선은 법칙을 그대로 연장했을 때의 모습일 뿐 실제 기체가 그렇게 된다는 뜻이 아니다. 표시값은 압력·부피 0.01, 온도 1\,\mathrm{K} 단위로 반올림하며, 일정한 값은 반올림 전의 값으로 계산한다.

키보드

Space 재생 / 일시정지 · Enter 현재 상태 기록 · ←→ 조작 변인 조금씩 바꾸기(화면 선택 시)
R 기록 지우기 · F 집중 모드 · Esc 창 / 집중 모드 닫기

What am I looking at?

A cylinder of constant cross-section holds n=0.100\,\mathrm{mol} of an ideal gas. Its state is described by the pressure P, the volume V and the absolute temperature T, which always satisfy the ideal gas law.

PV=nRT,\qquad R=0.0821\,\mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)}

Each experiment holds one quantity constant (controlled variable), changes another (manipulated variable) and shows how the third one responds (dependent variable). Changes are assumed slow enough that the gas is always in equilibrium, so a new value immediately shows the new equilibrium state.

Experiment	Held	Changed	Responds	How it is held
Boyle	T	V	P	The cylinder sits in a large constant-temperature bath.
Charles	P	T	V	A weight rests on a free piston.
Gay-Lussac	V	T	P	Pins fix the piston.

In the Charles experiment the gas pressure is the outside air pressure 1\,\mathrm{atm} plus the weight divided by the piston area (piston mass and friction are ignored), so at P=1\,\mathrm{atm} there is no weight. The piston is free, so it stops where the push of the air and weight from outside equals the push of the gas from inside. The gas pressure is therefore always given by the equation below; changing the temperature leaves the air pressure P_0, the weight’s mass m and the piston area A unchanged, so the pressure stays the same and only the piston moves.

P=P_0+\frac{mg}{A}

In the drawing, equal red arrows above and below the piston show this balance, and the same equation is written above the cylinder. The teal index on the gauge marks the pressure you set; the needle stays on it whatever the temperature.

Reading the screen

The apparatus is on the left: the scale on the cylinder gives the volume (L), the gauge on the right the pressure (atm) and the thermometer on the left the temperature (K). Boyle’s experiment shows the bath; the other two show a temperature plate under the cylinder, red when heating above 300\,\mathrm{K} and blue when cooling below it.

The graph is on the right. The teal curve is the ideal gas law at the present value of the controlled variable, labelled at its end. It is solid where the manipulated variable is inside the experimental range and dotted where the law is extended beyond it. The amber dot is the present state; numbered violet dots are recorded states. Records taken at other values of the controlled variable keep their own faint curve for comparison. The switch above the graph chooses P\text{–}V or P\text{–}\frac{1}{V} for Boyle, and absolute temperature T (K) or Celsius temperature t (°C) for the other two.

Particles

The 40 particles are a sample that shows how molecules move, not the real number of molecules. Their velocities follow a 2D Maxwell distribution scaled so that the mean square speed is proportional to the absolute temperature. Changing the temperature multiplies every velocity by \sqrt{\frac{T_\mathrm{new}}{T_\mathrm{old}}}; changing the volume stretches the heights of the particles in proportion. Particles do not collide with each other (ideal gas) and bounce elastically off the walls and piston. Real molecules move at hundreds of metres per second; the screen shows them very slowly. The pressure readout comes from the ideal gas law, not from counting collisions.

Controls

Choosing an experiment starts it from its default values and clears the records. Change the controlled and manipulated variables with the slider or the value field. The manipulated variable also follows when you drag the present-state dot along the graph, in Boyle’s experiment you can drag the piston handle up and down, and in Charles’s and Gay-Lussac’s experiments you can drag the red column of the thermometer (its grip) up and down; tapping the thermometer jumps to that reading. The dependent variable cannot be set directly.

Record present state stores the present T, V and P as one column of the table and one numbered dot on the graph. Measure 5 points sets the manipulated variable to both ends of its range and three values in between, records each, and returns to the original value. Up to 12 records are kept. Clear records in the transport bar removes only the records; Reset all restores every value and tool. Play/pause and speed affect only the motion of the particles.

Range of the model

At low temperature or high pressure, forces between molecules and their size make a real gas depart from the ideal gas and finally condense into a liquid. The temperature is therefore limited to 200\text{–}500\,\mathrm{K}, and the dotted parts of the graph only show the law extended, not what a real gas would do. Readouts are rounded to 0.01 for pressure and volume and to 1\,\mathrm{K} for temperature; the constant values are computed before rounding.

Keyboard

Space play / pause · Enter record present state · ←→ nudge the manipulated variable (canvas focused)
R clear records · F focus mode · Esc close dialog / focus mode

공부하기

이 시뮬레이션으로 확인할 수 있는 내용을 주제별로 정리했다. 각 주제의 해 보기를 따라 하면 화면에서 직접 확인할 수 있다.

1. 기체의 상태를 나타내는 양

일정한 양의 기체는 압력 P, 부피 V, 온도 T 가운데 두 값을 정하면 나머지 하나가 정해진다. 기체 법칙의 온도는 절대 온도(K)이다. 절대 온도 T와 섭씨 온도 t 사이에는 아래 관계가 있다.

T=t+273.15,\qquad 1\,\mathrm{atm}=101.3\,\mathrm{kPa}=760\,\mathrm{mmHg}

해 보기 온도 칸의 아래에 적힌 섭씨 온도를 읽는다. 300\,\mathrm{K}는 27\,^\circ\mathrm{C}, 273\,\mathrm{K}는 0\,^\circ\mathrm{C}이다.

2. 보일 법칙: 온도가 일정하면 압력은 부피에 반비례한다

온도와 기체의 양이 일정할 때 기체의 압력과 부피의 곱은 일정하다. 부피를 반으로 줄이면 압력은 두 배가 된다. P\text{–}V 그래프는 쌍곡선이다.

PV=\text{일정},\qquad P_1V_1=P_2V_2

해 보기 보일 법칙에서 T=300\,\mathrm{K}로 두고 부피를 2.00\,\mathrm{L}에서 4.00\,\mathrm{L}로 늘린다. 압력은 1.23\,\mathrm{atm}에서 0.62\,\mathrm{atm}으로 줄고, 일정한 값 PV는 2.46\,\mathrm{atm\cdot L}로 그대로이다.

3. 입자로 본 보일 법칙

기체의 압력은 분자들이 벽에 부딪히며 벽을 미는 힘을 넓이로 나눈 것이다. 온도가 일정하면 분자의 평균 속력이 같아서 한 번 부딪힐 때 벽에 주는 충격도 평균적으로 같다. 부피가 줄면 같은 수의 분자가 좁은 공간에 모여 단위 시간에 벽에 부딪히는 횟수가 늘어나므로 압력이 커진다.

해 보기 보일 법칙에서 피스톤 손잡이를 끌어 부피를 5\,\mathrm{L}에서 1\,\mathrm{L}로 줄인다. 입자의 빠르기는 그대로인데 피스톤에 부딪히는 횟수가 눈에 띄게 많아진다.

4. 반비례를 직선으로 확인하기

쌍곡선은 반비례인지 눈으로 판단하기 어렵다. 가로축을 \frac{1}{V}로 바꾸면 반비례 관계는 원점을 지나는 직선이 되어, 기울기 PV가 일정한지 바로 볼 수 있다.

P=\left(PV\right)\times\frac{1}{V}

해 보기 ‘5번 자동 측정’을 누른 뒤 그래프를 P\text{–}\frac{1}{V}로 바꾼다. 다섯 점이 원점을 향하는 한 직선 위에 놓인다.

5. 샤를 법칙과 절대 영도

압력과 기체의 양이 일정할 때 기체의 부피는 절대 온도에 비례한다. 섭씨 온도로 그리면 직선이 원점을 지나지 않고, 연장하면 -273.15\,^\circ\mathrm{C}에서 부피가 0이 된다. 이 온도가 절대 영도(0 K)이며, 온도가 1\,^\circ\mathrm{C} 오를 때마다 부피는 0\,^\circ\mathrm{C}일 때 부피의 \frac{1}{273}씩 늘어난다.

\frac{V}{T}=\text{일정},\qquad V=V_0\left(1+\frac{t}{273}\right)

해 보기 샤를 법칙에서 P=1.00\,\mathrm{atm}으로 두고 온도를 250\,\mathrm{K}에서 500\,\mathrm{K}로 두 배 올린다. 부피도 2.05\,\mathrm{L}에서 4.10\,\mathrm{L}로 두 배가 된다. 그래프를 V\text{–}t로 바꾸면 점선이 -273\,^\circ\mathrm{C}에서 가로축과 만난다.

6. 게이뤼삭 법칙: 부피가 일정하면 압력은 절대 온도에 비례한다

부피와 기체의 양이 일정할 때 압력은 절대 온도에 비례한다. 온도가 높아지면 분자의 평균 속력이 커져서, 벽에 부딪히는 횟수가 늘고 한 번 부딪힐 때의 충격도 커진다. 두 효과를 합하면 압력은 분자의 평균 운동 에너지, 곧 절대 온도에 비례한다.

\frac{P}{T}=\text{일정},\qquad \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}

해 보기 게이뤼삭 법칙에서 V=2.00\,\mathrm{L}로 두고 온도를 250\,\mathrm{K}에서 500\,\mathrm{K}로 올린다. 압력은 1.03\,\mathrm{atm}에서 2.05\,\mathrm{atm}으로 두 배가 되고, 입자는 더 빨리 움직인다.

7. 보일·샤를 법칙과 이상 기체 상태 방정식

세 법칙을 하나로 묶으면, 일정한 양의 기체에서 \frac{PV}{T}는 어느 실험에서나 같은 값이다(보일·샤를 법칙). 이 값은 기체의 양에 비례하며, 비례 상수가 기체 상수 R이다.

보일·샤를 법칙

\frac{P_1V_1}{T_1}=\frac{P_2V_2}{T_2}

이상 기체 상태 방정식

PV=nRT,\qquad R=0.0821\,\mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)}

여기서는 n=0.100\,\mathrm{mol}이므로 \frac{PV}{T}=nR=0.00821\,\mathrm{atm\cdot L/K}이다. 0\,^\circ\mathrm{C}, 1\,\mathrm{atm}에서 기체 1\,\mathrm{mol}의 부피는 약 22.4\,\mathrm{L}이다.

해 보기 세 실험을 오가며 값을 바꿔도 보일·샤를 칸은 변하지 않는다. 샤를 법칙에서 P=1.00\,\mathrm{atm}, T=273\,\mathrm{K}로 두면 부피가 2.24\,\mathrm{L}, 곧 0.100\,\mathrm{mol}에 해당하는 22.4\,\mathrm{L}의 \frac{1}{10}이다.

8. 여러 온도의 등온선

온도를 정해 놓고 그린 P\text{–}V 곡선을 등온선이라 한다. 같은 부피에서 압력은 절대 온도에 비례하므로, 온도가 높은 등온선일수록 원점에서 먼 바깥쪽에 놓인다.

n=0.100\,\mathrm{mol}, V=2.00\,\mathrm{L}일 때 온도에 따른 압력
T (K)	200	300	400	500
P (atm)	0.82	1.23	1.64	2.05
PV (atm·L)	1.64	2.46	3.28	4.10

해 보기 보일 법칙에서 T=200\,\mathrm{K}로 두고 ‘5번 자동 측정’을 누른다. 온도를 300, 400, 500\,\mathrm{K}로 바꿀 때마다 다시 누르면 기록마다 그 온도의 등온선이 남아 네 곡선을 한 그래프에서 비교할 수 있다(기록은 12개까지이므로 마지막 온도에서는 일부만 남는다).

What you can learn with this simulation, topic by topic. Follow each Try it to see it on screen.

1. Quantities that describe a gas

For a fixed amount of gas, choosing two of the pressure P, volume V and temperature T fixes the third. The gas laws use the absolute temperature (K), related to the Celsius temperature t by:

T=t+273.15,\qquad 1\,\mathrm{atm}=101.3\,\mathrm{kPa}=760\,\mathrm{mmHg}

Try it Read the Celsius value under the temperature readout: 300\,\mathrm{K} is 27\,^\circ\mathrm{C} and 273\,\mathrm{K} is 0\,^\circ\mathrm{C}.

2. Boyle’s law: at constant temperature, pressure is inversely proportional to volume

With temperature and amount of gas fixed, the product of pressure and volume is constant: halve the volume and the pressure doubles. The P\text{–}V graph is a hyperbola.

PV=\text{constant},\qquad P_1V_1=P_2V_2

Try it In Boyle’s experiment at T=300\,\mathrm{K}, increase the volume from 2.00\,\mathrm{L} to 4.00\,\mathrm{L}. The pressure falls from 1.23\,\mathrm{atm} to 0.62\,\mathrm{atm} while PV stays at 2.46\,\mathrm{atm\cdot L}.

3. Boyle’s law seen through molecules

Gas pressure is the force of molecules hitting a wall, divided by its area. At constant temperature the average speed is unchanged, so each hit gives the same push on average. A smaller volume packs the same molecules into less space, so they hit the wall more often per second and the pressure rises.

Try it In Boyle’s experiment, drag the piston handle from 5\,\mathrm{L} to 1\,\mathrm{L}. The particles move just as fast, but they hit the piston much more often.

4. Checking inverse proportion with a straight line

It is hard to tell by eye whether a curve is a hyperbola. With \frac{1}{V} on the horizontal axis, inverse proportion becomes a straight line through the origin whose slope is PV.

P=\left(PV\right)\times\frac{1}{V}

Try it Press Measure 5 points, then switch the graph to P\text{–}\frac{1}{V}: the five dots lie on one line pointing at the origin.

5. Charles’s law and absolute zero

With pressure and amount of gas fixed, the volume is proportional to the absolute temperature. Plotted against Celsius temperature, the line misses the origin; extended, it reaches zero volume at -273.15\,^\circ\mathrm{C}, absolute zero (0 K). Each degree Celsius adds \frac{1}{273} of the volume at 0\,^\circ\mathrm{C}.

\frac{V}{T}=\text{constant},\qquad V=V_0\left(1+\frac{t}{273}\right)

Try it In Charles’s experiment at P=1.00\,\mathrm{atm}, double the temperature from 250\,\mathrm{K} to 500\,\mathrm{K}: the volume doubles from 2.05\,\mathrm{L} to 4.10\,\mathrm{L}. Switch to V\text{–}t: the dotted line meets the axis at -273\,^\circ\mathrm{C}.

6. Gay-Lussac’s law: at constant volume, pressure is proportional to absolute temperature

With volume and amount of gas fixed, the pressure is proportional to the absolute temperature. Hotter molecules move faster, so they hit the wall more often and harder; together the pressure follows the average kinetic energy of the molecules, that is, the absolute temperature.

\frac{P}{T}=\text{constant},\qquad \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}

Try it In Gay-Lussac’s experiment at V=2.00\,\mathrm{L}, raise the temperature from 250\,\mathrm{K} to 500\,\mathrm{K}: the pressure doubles from 1.03\,\mathrm{atm} to 2.05\,\mathrm{atm} and the particles speed up.

7. The combined gas law and the ideal gas law

Putting the three laws together, \frac{PV}{T} has the same value in every experiment for a fixed amount of gas (combined gas law). It is proportional to the amount of gas, with the gas constant R as the constant of proportionality.

Combined gas law

\frac{P_1V_1}{T_1}=\frac{P_2V_2}{T_2}

Ideal gas law

PV=nRT,\qquad R=0.0821\,\mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)}

Here n=0.100\,\mathrm{mol}, so \frac{PV}{T}=nR=0.00821\,\mathrm{atm\cdot L/K}. At 0\,^\circ\mathrm{C} and 1\,\mathrm{atm}, 1\,\mathrm{mol} of gas takes about 22.4\,\mathrm{L}.

Try it Switch between the experiments and change values: the Combined readout does not change. In Charles’s experiment set P=1.00\,\mathrm{atm} and T=273\,\mathrm{K}: the volume is 2.24\,\mathrm{L}, one tenth of 22.4\,\mathrm{L} for 0.100\,\mathrm{mol}.

8. Isotherms at several temperatures

A P\text{–}V curve drawn at one fixed temperature is an isotherm. At the same volume the pressure is proportional to the absolute temperature, so hotter isotherms lie farther from the origin.

Pressure against temperature for n=0.100\,\mathrm{mol}, V=2.00\,\mathrm{L}
T (K)	200	300	400	500
P (atm)	0.82	1.23	1.64	2.05
PV (atm·L)	1.64	2.46	3.28	4.10

Try it In Boyle’s experiment set T=200\,\mathrm{K} and press Measure 5 points. Repeat at 300, 400 and 500\,\mathrm{K}: each temperature keeps its isotherm, so the curves can be compared on one graph (only 12 records are kept, so the last temperature is partly recorded).