삼각함수 덧셈정리의 기하학적 증명

STEP 01 · 삼각형의 구성

단위원 위의 점과 $\triangle \mathrm{OQP}$

[FIG. 1.]과 같이 $x$축으로부터 반시계 방향으로 $\alpha$만큼 회전한 위치에 반직선(파란선)을 하나 긋는다. 파란선으로부터 $\beta$만큼 더 회전한 위치, 즉 $x$축으로부터 각 $\alpha+\beta$만큼 회전한 위치의 직선이 단위원과 만나는 점을 $\mathrm{P}$라고 하자($\overline{\mathrm{OP}}=1$). 점 $\mathrm{P}$에서 파란선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$, 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$, $\mathrm{Q}$에서 $\overline{\mathrm{PR}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{S}$, $\mathrm{Q}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{T}$라고 하자.

단위원 위의 점 P와 x축에서 각 α로 그은 반직선 OQ, P에서 OQ와 x축에 내린 수선의 발 Q,R,S, △OQP — FIG. 1. — 단위원 위의 점 $\mathrm{P}(\cos(\alpha+\beta),\ \sin(\alpha+\beta))$

이때 $\angle \mathrm{OQP} = 90^\circ$이고, $\triangle \mathrm{OQP}$에서 빗변은 $\overline{\mathrm{OP}}=1$, $\angle \mathrm{QOP}=\beta$이다. 따라서 다음이 성립한다.

$\triangle \mathrm{OQP}$ 에서 각 변의 길이

$$\overline{\mathrm{OQ}} = \cos\beta \\[1em] \overline{\mathrm{QP}} = \sin\beta$$

FIG. 2. — 빗변의 길이가 1인 $\triangle \mathrm{OQP}$

STEP 02 · 덧셈정리 유도

sin, cos, tan의 덧셈정리

$\overline{\mathrm{QP}}$는 $\overline{\mathrm{OQ}}$에 수직이고, $\overline{\mathrm{OQ}}$는 $x$축과 각 $\alpha$를 이루므로, $\overline{\mathrm{QP}}$의 방향은 $x$축으로부터 $\alpha+90^\circ$만큼 회전한 방향이다. 한편 $\overline{\mathrm{PS}}$는 $\overline{\mathrm{PR}}$의 일부로 수직선이므로, $\triangle \mathrm{QPS}$에서 $\angle \mathrm{QPS} = \alpha$이다(자세한 설명은 아래 토글 참고). 빗변 $\overline{\mathrm{QP}}=\sin\beta$를 이용하면 다음을 얻는다.

$\triangle \mathrm{QPS}$에서 각 변의 길이 ($\angle \mathrm{QPS} = \alpha$)

$$\overline{\mathrm{PS}} = \overline{\mathrm{QP}}\cos\alpha = \sin\beta\cos\alpha$$

$$\overline{\mathrm{QS}} = \overline{\mathrm{QP}}\sin\alpha = \sin\beta\sin\alpha$$

△QPS의 확대도, 각 α와 변 sinβcosα, sinβsinα, 빗변 sinβ

FIG. 3. — 빗변의 길이가 $\sin\beta$인 $\triangle \mathrm{QPS}$

[Q] 왜 $\angle \mathrm{QPS} = \alpha$일까?

직선 $\overline{\mathrm{OQ}}$가 $x$축과 이루는 각이 $\alpha$이므로, 거기에 수직인 $\overline{\mathrm{QP}}$의 방향은 $x$축으로부터 $\alpha+90^\circ$만큼 회전한 방향이다. 한편 $\overline{\mathrm{PS}}$는 수직선, 즉 $x$축으로부터 $90^\circ$ 회전한 방향이므로, 두 방향의 차이인 $\angle \mathrm{QPS}$는 정확히 $\alpha$이다.

$\alpha=0$인 극단적인 경우로 확인해 보면 이해가 쉽다. $\alpha=0$이면 $\overline{\mathrm{OQ}}$는 $x$축과 겹치고, 거기에 수직인 $\overline{\mathrm{QP}}$는 완전히 수직 방향이 되어 $\overline{\mathrm{PS}}$와 완전히 겹친다 — 즉 $\angle \mathrm{QPS}=0^\circ$이며 공식과 정확히 일치한다. 반대로 $\alpha$가 커질수록 $\overline{\mathrm{QP}}$는 점점 수평에서 멀어지고, $\angle \mathrm{QPS}$도 그만큼 커진다.

한편 $\mathrm{T}$는 $\mathrm{Q}$에서 $x$축에 내린 수선의 발이므로, $\triangle \mathrm{QOT}$에서 $\angle \mathrm{QOT} = \alpha$이고 빗변은 $\overline{\mathrm{OQ}}=\cos\beta$이다. 따라서 다음이 성립한다.

$\triangle \mathrm{QOT}$에서 각 변의 길이 ($\angle \mathrm{QOT} = \alpha$)

$$\overline{\mathrm{OT}} = \overline{\mathrm{OQ}}\cos\alpha = \cos\beta\cos\alpha$$

$$\overline{\mathrm{QT}} = \overline{\mathrm{OQ}}\sin\alpha = \cos\beta\sin\alpha$$

△QOT의 확대도, 각 α와 변 cosβcosα, cosβsinα, 빗변 cosβ

FIG. 4. — 빗변의 길이가 $\cos\beta$인 $\triangle \mathrm{QOT}$

$\sin(\alpha+\beta)$는 $\mathrm{P}$점의 $y$좌표, 즉 $\overline{\mathrm{PR}}$의 길이이다. $\mathrm{R},\ \mathrm{S},\ \mathrm{P}$는 모두 같은 수직선 위에 있으므로 $\overline{\mathrm{PR}} = \overline{\mathrm{RS}} + \overline{\mathrm{SP}}$이다. 그런데 $\mathrm{S}$는 $\mathrm{Q}$와 $y$좌표가 같고 $\mathrm{R}$은 $x$축 위에 있으므로, 사각형 $\mathrm{QTRS}$에서 서로 마주보는 변인 $\overline{\mathrm{RS}}$와 $\overline{\mathrm{QT}}$는 길이가 같다. 즉 $\overline{\mathrm{RS}} = \overline{\mathrm{QT}}$이므로 다음을 얻는다.

$y$성분 비교

$$\sin(\alpha+\beta) = \overline{\mathrm{PR}} = \underbrace{\overline{\mathrm{QT}}}_{\overline{\mathrm{RS}}} + \overline{\mathrm{SP}} = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$

같은 방식으로 $x$성분도 비교할 수 있다. $\cos(\alpha+\beta)$는 $\mathrm{P}$점의 $x$좌표, 즉 $\overline{\mathrm{OR}}$의 길이이다. $\overline{\mathrm{SP}}$가 수직이므로 $\mathrm{S}$는 $\mathrm{P}$와 $x$좌표가 같고, 따라서 $\overline{\mathrm{OR}}$은 $\mathrm{S}$의 $x$좌표와 같다. $\mathrm{S}$는 $\mathrm{Q}$로부터 왼쪽으로 $\overline{\mathrm{QS}}$만큼 떨어져 있으므로, $\mathrm{Q}$의 $x$좌표 $\overline{\mathrm{OT}}$에서 $\overline{\mathrm{QS}}$를 빼면 다음을 얻는다.

$x$성분 비교

$$\cos(\alpha+\beta) = \overline{\mathrm{OR}} = \overline{\mathrm{OT}} - \overline{\mathrm{QS}} = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$

SINE, COSINE의 덧셈정리

$$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$

$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$에 위의 두 공식을 대입한 뒤, 분자와 분모를 각각 $\cos\alpha\cos\beta$로 나누어 정리하면 다음을 얻는다.

TANGENT의 덧셈정리

$$\tan(\alpha+\beta)= \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

STEP 03 · 특수한 경우

덧셈정리에 $\beta=\alpha$를 대입하면

덧셈정리에서 $\beta=\alpha$를 대입하면, 같은 각을 두 번 더한 경우 즉 배각정리를 얻을 수 있다.

3.1 $\sin(2\alpha)$

SINE의 배각공식

$$\sin(2\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

3.2 $\cos(2\alpha)$

COSINE의 배각공식

$$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$

피타고라스 항등식 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$을 대입하면 다음 두 가지 형태로도 쓸 수 있다.

$$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha$$

3.3 $\tan(2\alpha)$

TANGENT의 배각공식

$$\tan(2\alpha) = \frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha} = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$

Result · 하나의 그림에서 여섯 개의 공식

덧셈정리와 배각정리는 모두 같은 기하학적 구성에서 나온다

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

단위원 위의 점 $\mathrm{P}$와 세 보조점 $\mathrm{Q},\ \mathrm{S},\ \mathrm{T}$가 만드는 세 개의 $\triangle$($\mathrm{OQP}$, $\mathrm{QPS}$, $\mathrm{QOT}$) — 이 하나의 그림이 덧셈정리의 전부다. $\tan(\alpha+\beta)$는 이 두 식의 비율로, 배각정리는 $\beta=\alpha$를 대입한 특수한 경우로 얻어진다는 점에서, 여섯 개의 공식은 사실 하나의 기하학적 사실이 여러 모습으로 표현된 것이다.

삼각함수 덧셈정리의 기하학적 증명

단위원 위의 점과 \(\triangle \mathrm{OQP}\)

sin, cos, tan의 덧셈정리

덧셈정리에 \(\beta=\alpha\)를 대입하면

3.1 \(\sin(2\alpha)\)

3.2 \(\cos(2\alpha)\)

3.3 \(\tan(2\alpha)\)

덧셈정리와 배각정리는 모두 같은 기하학적 구성에서 나온다